順列・組み合わせ

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組み合わせの公式と計算

組み合わせの公式

A、B、Cの3文字から、2文字を選ぶ組み合わせは次の3パターンだ。
A、B
B、C
A、C

これに対し、順列を考えると次の6パターンになる。
A、B
B、A
B、C
C、B
A、C
C、A

順列では「A、B」と「B、A」は別のパターンとして扱うが、組み合わせでは「A、B」も「B、A」も同じパターンとてカウントするからだ。
AとBがあったとき、順列なら2パターン、組み合わせなら1パターンとなる。

ここから、順列のパターン数を、並べる数の階乗(2!)で割れば、組み合わせのパターン数になることが分かる。

ここでは「A、B」を例にしたが、同じことが「B、C」についても、「A、C」についても言える。
つまり、「2個を選ぶ組み合わせ」=「2個を選ぶ順列」÷2!となるのだ。

3個を選ぶ場合であれば、「3個を選ぶ組み合わせ」=「3個を選ぶ順列」÷3!となるのだ。

これにより、順列の公式から、組み合わせの公式を導くことができる。

例えば、7個から4個を選ぶ組み合わせは\({}_7 \mathrm{ C }_4\)、4個を選ぶ順列は\({}_7 \mathrm{ P }_4\)だ。
そして、組み合わせは、順列を選ぶ数の階乗(4!)で割ればいい。
つまり、以下の関係となる。
\[ {}_7 \mathrm{ C }_4=\displaystyle \frac{ {}_7 \mathrm{ P }_4 }{ 4! } \] これを一般化する次の式になる。 \[ {}_n \mathrm{ C }_r=\displaystyle \frac{ {}_n \mathrm{ P }_r }{ r! } \]

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