円周率の求め方

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多角形による円周率の近似

正多角形の角の数を増やしていくと、形が円に近付いていく。
次の図では、角の数を6から24に増やすだけで、かなり円に近付くことがわかる。


このとき、正多角形の辺の長さの合計値も、円周の長さに近づくことになる。

ここでは、正多角形の辺の長さの合計値から、円周の長さを近似で求めてみよう。

正多角形の角の数をn、一つの辺の長さをsとすると、正多角形の辺の長さの合計値Lはnsとなる。

nが大きくなれば(正多角形の角の数が増えれば)、一辺が短くなるのでsは小さくなる。 その結果、Lが円周の長さに近づいていくのだ。

ここでは、n=3、つまり正三角形で考えてみよう。
半径rの円に正三角形abcを内接させる。


中心oと頂点bの線分obの距離は、半径と同じrだ。
oから線分cbに垂線を引き交点をdとすると、bdの大きさはsの半分になる。


この関係は表す式は次のようになる。
\[ \frac{ 1 }{ 2 }s=r\sin \theta \] \(\theta\)は、1周360度(2\(\pi\))を、角の数n(この場合はn=3)で割った値の、さらに半分だ。
従って\(\theta\)は次の式で表現することができる。
\[ \theta=\frac{ 1 }{ 2 }\frac{ 1 }{ n }2\pi \] これを代入すると、
\[ s=2r\sin \frac{ 1 }{ n }\pi \] となる。

正多角形の辺の長さの合計値Lは角の数nと一辺の長さsの積であった。
従って、Lは以下の式となる。
\[ L=2nr\sin \frac{ 1 }{ n }\pi \]

一方、円の直径2rであるから、nが大きな値のとき、L/2rが円周率に近似されることになる。
\[ \frac{ L }{ 2r }=n\sin \frac{ 1 }{ n }\pi \]

実際にnに数字を入れた結果が以下の表だ。

角の数が増えるにつれ、より実際の円周率に近い値となっていく。
さらにnの数を増やした下表を見ると、正2000角形あたりから、小数点以下5桁まで近似されていることが分かる。

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