ブール代数

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ブール代数

ブール代数とは、情報を論理的に扱う数学の一分野である。
ここでは、まずブール代数の基本となる命題について解説しよう。
ブール代数は命題しか扱わないからだ。

命題

正誤が明確に判定できる情報を命題という。
例えば、「1月1日は元旦である」という情報は命題である。
正しいか誤りであるかが明確に判定できるからだ。
正しい命題を真の命題という。

「1月1日はこどもの日である」もやはり命題だ。
この命題は誤りであるので、偽の命題という。

「太郎君は背が高い」「政治は悪い方へ向かっている」は命題ではない。
背の高低、政治の善し悪しの判断は主観的なものであるからだ。
「太郎君の背は178cmである」とすれば、命題である。

命題は真・偽のどちらか一方の値を必ず取らなくてはならない。
真でも偽でもない状態はない。同時に真・偽の両方であることもない。

このような命題を数学で解釈するのが、ブール代数なのである。

「10円玉を投げたら表が出た」という命題がある。
この命題の真偽は実際に10円玉を投げてみればいい。
実際に10円玉を投げて表が出ればこの命題は真であり、裏が出れば偽である。

この命題を「A」と名付ける。
また真を「1」、偽を「0」とする。
そうすると、この命題は式で表現することが出来る。

このように書くと、数学っぽくなってきたと感じられることだろう。
これが、ブール代数の基本だ。

論理演算とブール代数

今度は100円玉を投げてみよう。
この命題は「B」とする。
そうすると、この命題の式は次のようになる。

10円が100円、AがBに置換しただけなので本質的な違いはない。

次に10円玉と100円玉を同時に投げてみる。
「10円玉と100円玉を同時に投げたら、両方とも表が出た」という命題が真になるのは、「A=1」と「B=1」が同時に起こった場合だ。

この場合は「A・B=1」と書く。「・」はかけ算を意味する黒丸だ。
ブール代数は数学の一種なので計算ができるのである。

実際に10円玉と100円玉を同時に投げた場合の裏・表のパターンは4通りである。
その中で「両方とも表」のみが「真」であり、残りの3パターンが「偽」である。

「A・B=1」は「AかつBが真」であることを示している。
「A・B=1」は二つの命題を、論理的に操作して求めることができた。
「AかつB」のような論理の操作方法を論理積という。

「10円玉と100円玉を同時に投げたら、少なくとも一方のコインが表だった」という命題は、「A=1」と「B=1」のうちのどちらか起こるだけで十分だ。
この場合は「A+B=1」と書く。「+」はたし算を意味するプラス記号である。

10円玉と100円玉を同時に投げた場合の裏・表の4パターンの中で、「少なくとも一方が表」は3パターンありこれが「真」である。

「A+B=1」は「AまたはBが真」であることを示している。
「A+B=1」は二つの命題を、論理的に操作して求めることができた。
「AまたはB」のような論理の操作方法を論理和という。

ここで、論理和と論理積をまとめておこう。

単独の命題A、Bを数学のように論理的な操作をすることができた。
ここではコイン投げを扱ったが、ブール代数はコインにこだわらない。
命題であればすべて通用するのである。
このように、命題を論理的に加工することを論理演算という。

数値演算を扱うのが代数であり、論理演算を扱うのがブール代数なのである。

論理演算の基本は論理積(AND)、論理和(OR)、否定(NOT)の3種類である。
論理積(AND)、論理和(OR)は解説したので、ここでは否定(NOT)を取り上げよう。

「10円玉を投げたら表が出た」という命題を論理的に加工して「10円玉を投げたら表が出なかった」という命題を得たとする。
このように、命題の論理を反転させる論理演算を否定(NOT)という。

否定(NOT)の演算記号は上線を付ければいい。
Aに上線を付け「A」と書き、エイバーと読む。

例題の場合は以下のようになる。
A=「10円玉を投げたら表が出た」
A=「10円玉を投げたら表が出なかった」

否定(NOT)では論理が反転する。
Aにとっての真は、Aにとっての偽になる。

「表が出なかった」状態が「真」であるためには、裏が出なくてはならない。
だから、「実際に10円玉を投げたら裏が出た」はAにとっては「偽」Aにとっては「真」になるのだ。

真理値表と論理素子

命題の取りうる真偽のパターンと、論理演算の結果の真偽のパターンをまとめた表を真理値表という。

例えば、論理和の真理値表は次のようになる。 ここではY=A+Bとしている。

論理和は「どちらか一方が真(1)なら、答えも真(1)」となる。
この表から分かるように、論理和の計算パターは以下の4つだ。
1+1=1
1+0=1
0+1=1
0+0=0

「1+1=1」には違和感があるが、論理演算には1と0の値しか登場しないのでこれでヨシとする。

同じように、論理積の真理値表は次のようになる。
ここではY=A・Bとしている。

論理積は「両方とも真(1)のときのみ、答えも真(1)」となる。
この表から分かるように、論理積の計算パターは以下の4つだ。
1・1=1
1・0=0
0・1=0
0・0=0

否定(NOT)の真理値表は簡単だ。
単に反転するだけである。

ブール代数とデジタル回路

命題の真偽を2通りの電圧値(H、L)に対応させ、電気的に論理演算を行うのがデジタル回路だ。
デジタル回路は、2通りの電圧値(H、L)のみで情報を論理演算する。

このためデジタル回路は、ブール代数の論理式の組み合わせで置き換えることができるし、論理素子もそのまま回路図の記号としても使用できるのである。

ブール代数はデジタル回路の設計には必須の知識である。

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